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Nous formulons un analogue de la conjecture de Hodge entière pour les variétés réelles. Celui-ci possède des liens étroits avec des propriétés classiques: existence d'une courbe réelle de genre pair, algébricité de l'homologie du lieu réel. Comme dans le cas complexe, la conjecture de Hodge entière réelle peut tomber en défaut mais est plausible pour les 1-cycles sur les variétés dont la géométrie est assez simple. Nous l'établissons pour plusieurs familles de solides uniréglés. Il s'agit d'un travail en commun avec Olivier Benoist. Nous formulons un analogue de la conjecture de Hodge entière pour les variétés réelles. Celui-ci possède des liens étroits avec des propriétés classiques: existence d'une courbe réelle de genre pair, algébricité de l'homologie du lieu réel. Comme dans le cas complexe, la conjecture de Hodge entière réelle peut tomber en défaut mais est plausible pour les 1-cycles sur les variétés dont la géométrie est assez simple. Nous l'établissons pour ...

14C30

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Multi angle  Toric non-abelian Hodge theory
Hausel, Tamás (Auteur de la Conférence) | CIRM (Editeur )

We will overview some conjectures on the mixed Hodge structure of character varieties in the framework of non-abelian Hodge theory on a Riemann surface. Then we introduce and study toric analogues of these spaces, in particular we prove that the toric character variety retracts to its core, the zero fiber of the toric Hitchin map, that its cohomology is Hodge-Tate and satisfies curious Hard Lefschetz, as well as the purity conjecture. We will indicate how these shed light on the $P=W$ conjecture in the toric case as well as for general character varieties. This is based on joint work with Nick Proudfoot. We will overview some conjectures on the mixed Hodge structure of character varieties in the framework of non-abelian Hodge theory on a Riemann surface. Then we introduce and study toric analogues of these spaces, in particular we prove that the toric character variety retracts to its core, the zero fiber of the toric Hitchin map, that its cohomology is Hodge-Tate and satisfies curious Hard Lefschetz, as well as the purity conjecture. We will ...

14H60 ; 14C30 ; 14J32 ; 14M25

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