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Les chaînes de Markov à mémoire de longueur variable constituent une classe de sources probabilistes. Il sera question dans cet exposé d'existence et unicité de mesure invariante pour une collection d'exemples de chaînes. Nous nous intéresserons également au comportement asymptotique d'une marche aléatoire dont les longueurs de sauts ne sont pas forcément intégrables. Les lois de sauts dépendent partiellement du passé de la trajectoire. Plus précisément, la probabilité de monter ou de descendre dépend du temps passé dans la direction dans laquelle le marcheur est en train d'avancer. Un critère de récurrence/transience s'exprimant en fonction des paramètres du modèle sera énoncé. Suivront plusieurs exemples illustrant le caractère instable du type de la marche lorsqu'on perturbe légèrement les paramètres.
Les travaux décrits dans cet exposé ont été faits en collaboration avec B. Chauvin, F. Paccaut et N. Pouyanne ou B. de Loynes, A. Le Ny et Y. Offret.
Les chaînes de Markov à mémoire de longueur variable constituent une classe de sources probabilistes. Il sera question dans cet exposé d'existence et unicité de mesure invariante pour une collection d'exemples de chaînes. Nous nous intéresserons également au comportement asymptotique d'une marche aléatoire dont les longueurs de sauts ne sont pas forcément intégrables. Les lois de sauts dépendent partiellement du passé de la trajectoire. Plus ...

60J10 ; 60J27 ; 60F05 ; 60K15

We consider a simple stochastic model for the spread of a disease caused by two virus strains in a closed homogeneously mixing population of size N. In our model, the spread of each strain is described by the stochastic logistic SIS epidemic process in the absence of the other strain, and we assume that there is perfect cross-immunity between the two virus strains, that is, individuals infected by one strain are temporarily immune to re-infections and infections by the other strain. For the case where one strain has a strictly larger basic reproductive ratio than the other, and the stronger strain on its own is supercritical (that is, its basic reproductive ratio is larger than 1), we derive precise asymptotic results for the distribution of the time when the weaker strain disappears from the population, that is, its extinction time. We further consider what happens when the difference between the two reproductive ratios may tend to 0.
This is joint work with Fabio Lopes.
We consider a simple stochastic model for the spread of a disease caused by two virus strains in a closed homogeneously mixing population of size N. In our model, the spread of each strain is described by the stochastic logistic SIS epidemic process in the absence of the other strain, and we assume that there is perfect cross-immunity between the two virus strains, that is, individuals infected by one strain are temporarily immune to re...

60J27 ; 92D30

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