February 24, 25 and 27, 2025
Enumerative combinatorics and effective aspects of differential equations, CIRM, Marseille, France
Summation theory of difference rings and applications
Carsten Schneider

Exit[]

SetDirectory["~/Packages"];

<<"Sigma.m";
<<HarmonicSums.m;
<<EvaluateMultiSums.m;

Part 1

Warm up example

The inner sum

summand=(j! k! n! (j+k+n)! (((2+2 j+k+n)/((1+j+k) (1+j+n)))-S[1,j]+S[1,j+k]+S[1,j+n]-S[1,j+k+n]))/((1+j+k)! (1+j+n)! (1+k+n)!);

innerSum=SigmaSum[summand,{j,0,a}]

closedForm=SigmaReduce[innerSum]

SigmaLimit[closedForm,{k,n},a]

GetFullDefinition[S[3,2,1,n]]

SExpansion[S[3,2,1,n],n,6]

The double sum

doubleSum=(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), a])(((S[1,k])/(k n (1+k+n)))+((S[1,n])/(k n (1+k+n)))-((S[1,k+n])/(k n (1+k+n))));

rec=GenerateRecurrence[doubleSum,n,SimplifyByExt->None][[1]]

rec=LimitRec[rec,SUM[n],{n},a]

recSol=SolveRecurrence[rec,SUM[n]]

FindLinearCombination[recSol,{1,{1/2}},n,1]

Solving of large recurrences

rec=-(2419791630618001724349719825822515200 (n^3)+46893058834334803550048105380734566400 (n^4)+442193057465681392730605627834886258688 (n^5)+2705163824287918413734939189834632593408 (n^6)+12077169282974589920658629516473115295744 (n^7)+41966837290479779427524408810546219827200 (n^8)+118219101947163710354472195018903784452096 (n^9)+277636548018756319924282582437965801250816 (n^10)+554818694316590989606680673486591181169664 (n^11)+958215852325427069871263145576988323096576 (n^12)+1447807538463763344480353057138198170764544 (n^13)+1932634574589957327485740054131528807341312 (n^14)+2297546075527773923214701010279556037859200 (n^15)+2448775269439910075996659926897517474168064 (n^16)+2353082458409861559967790811417795090328800 (n^17)+2048299114135230176735374555025680366259616 (n^18)+1621741955236083712069918941593026341937328 (n^19)+1171973077100571998520049114011408940864324 (n^20)+775366789376058136594755591722578221832754 (n^21)+470845228207878464545078102494550968145626 (n^22)+263029261282480708488833600406560031424266 (n^23)+135432625185170494152646639679878430576366 (n^24)+64380525008058346133125819015855307039890 (n^25)+28294941869896718238659823138529447643409 (n^26)+11510639826509868241332665511273019883245 (n^27)+4338601127644953578265748144467101651566 (n^28)+1516347765344935407227461978628652931140 (n^29)+491707203871221783491014552667264654348 (n^30)+147998315309037544218073839785461595524 (n^31)+41357982388489608344142528638546419812 (n^32)+10731279186864834895938990612954501362 (n^33)+2585221832059644562908138564950975983 (n^34)+578081901021769208062617955849607255 (n^35)+119933836608195636314895593780004412 (n^36)+23072349655406047775407594541682536 (n^37)+4112383801613288221238341717431870 (n^38)+678441475758950513418671792499790 (n^39)+103470631338396383215642368754950 (n^40)+14567035475277568652763736374038 (n^41)+1889820701704575278082350304095 (n^42)+225464981620744825055854151899 (n^43)+24677977218000736361042595318 (n^44)+2471158501904322420447817484 (n^45)+225650752266000765364410056 (n^46)+18718039227261648047794832 (n^47)+1404175763444631451277224 (n^48)+94757256722843508771238 (n^49)+5715830429727778230433 (n^50)+305843846362020680945 (n^51)+14381720253879875868 (n^52)+587432077055797654 (n^53)+20535798664117844 (n^54)+602646805448372 (n^55)+14460796607552 (n^56)+273265680480 (n^57)+3838554144 (n^58)+36289696 (n^59)+187328 (n^60)+256 (n^61)) f[n]+(2184637011646089260832263446242263040+60213944484149858917493971997278863360 n+765667472926191423796966419188114522112 (n^2)+6105365080510451396982635521026428239872 (n^3)+34708860405036002296270093362827805720576 (n^4)+151012015780667833836461483157418876403712 (n^5)+525927125380365588824032094032506978336768 (n^6)+1512196534433079466364883142044247431979008 (n^7)+3671470718711877962933422750534015631462400 (n^8)+7656732454200652158809870797561463793930240 (n^9)+13900418857159591484188788012697295475566592 (n^10)+22205000857672892951155779495290643697085440 (n^11)+31486034126294839958942742570718414414535680 (n^12)+39919692863067272123801901519465590396631552 (n^13)+45531432069748835165613722710992028682930304 (n^14)+46961436588813572025777511789038901263777888 (n^15)+43994959907297109868687362235336122063739280 (n^16)+37579715685313851159102021797411799861122656 (n^17)+29364773248686683915239812679461616136356200 (n^18)+21050691034785332915492476057834318260647992 (n^19)+13878863958177278906363320901764654180674068 (n^20)+8433920328583831248209974031887597144856166 (n^21)+4732703540813596136660683547266937537829654 (n^22)+2456402281573059079053298938442251846697230 (n^23)+1180884360800419306100550729721645208294214 (n^24)+526441908393454455371612300421050477868182 (n^25)+217853112783218022232146626128806211983463 (n^26)+83754020847842024722911201861265143892515 (n^27)+29933835570003312829692764177995129463678 (n^28)+9950649553145001634744062228609687611636 (n^29)+3077685237402338181588673390623771087768 (n^30)+885864683981666005570651087823908853468 (n^31)+237303300491689480050502026965768922040 (n^32)+59155090124648479353044037293149067126 (n^33)+13719117466936551766792191652359249405 (n^34)+2958917780333050813266891451512650209 (n^35)+593157044864289496291653275756884512 (n^36)+110438535500745724875815791275373824 (n^37)+19080579219381871689558731310265194 (n^38)+3055650762530616827066946087618154 (n^39)+452987258893586741202300418715142 (n^40)+62067608935535379147520211092898 (n^41)+7846086266834729051216715205681 (n^42)+913130773095847812486509019205 (n^43)+97597613016813524555747415182 (n^44)+9552877857235409775526229148 (n^45)+853450995298842653501332876 (n^46)+69325405419294490888090944 (n^47)+5096893257290771080869644 (n^48)+337358454813758704464466 (n^49)+19974662258188401941987 (n^50)+1049859496149284305279 (n^51)+48525482667944885632 (n^52)+1949521858753528714 (n^53)+67075940936545308 (n^54)+1938510016023020 (n^55)+45836200086880 (n^56)+854037611552 (n^57)+11836382688 (n^58)+110495776 (n^59)+564032 (n^60)+768 (n^61)) f[1+n]-(-22022314605592690531751005935108096000-289135277001687902353264231969613414400 n-1488037313005848582765208942457703628800 (n^2)-1818726834376404926186570730184369766400 (n^3)+23382204546977767384985015673369488916480 (n^4)+188082685608246892321802873635659960877056 (n^5)+825801477256291595460486042061384946712576 (n^6)+2628541026330989080112440997321895434330112 (n^7)+6629655427580241497225184251016863653908480 (n^8)+13848216502549635881680294337223876185911296 (n^9)+24611563389512504073584247446699535922575360 (n^10)+37909511298937488708854223877932503102176256 (n^11)+51299918554927297426860529427157650519514112 (n^12)+61629468272462855574906800764536339189128192 (n^13)+66280124475672744973400889288785644773739136 (n^14)+64247409978580992116427545385119399679833312 (n^15)+56449472002389683597707337063406362546728272 (n^16)+45171322891361752871580719683909268264681440 (n^17)+33053824818470328765890536318636510140913496 (n^18)+22194286968981437345392564520988385907626416 (n^19)+13715606341403352934357761159783608231286212 (n^20)+7820919263011960290532633923574013757937322 (n^21)+4124101824382320133598766513489500768514642 (n^22)+2014900658274015221853754922074596765809754 (n^23)+913552367745160482379609090421491101869914 (n^24)+384912898173545720900056698586842503122918 (n^25)+150881012199256958147419290021749103219985 (n^26)+55074624810472925390185481773716375577417 (n^27)+18733933409151309041626750964983474454358 (n^28)+5941570334258463328802562879066834157404 (n^29)+1757621107214989234449316717174814410560 (n^30)+485046390298804579275932040902973332692 (n^31)+124877689424959601610199276249591868356 (n^32)+29989412247749884342281895499180335754 (n^33)+6715821939958386382569103248806082447 (n^34)+1401758065674213210274260438674133863 (n^35)+272527587406079568538323090035115684 (n^36)+49312358430897053286589310725757704 (n^37)+8296078956189808509997550437883390 (n^38)+1296103778071525102182189470635774 (n^39)+187776581998229163368113485479490 (n^40)+25186081309681650194834084101162 (n^41)+3121520966967059012579790235663 (n^42)+356696551136881314117558024007 (n^43)+37484536898709537869638087550 (n^44)+3612012600567270037248636788 (n^45)+318063209276420217186951276 (n^46)+25493505002286210193173232 (n^47)+1851374597173806436884944 (n^48)+121157534952438954351366 (n^49)+7099015219827843837177 (n^50)+369549841897016581817 (n^51)+16930667101318371492 (n^52)+674702033398352670 (n^53)+23042430467695396 (n^54)+661436747087492 (n^55)+15543736473056 (n^56)+288011538912 (n^57)+3971907936 (n^58)+36920096 (n^59)+187840 (n^60)+256 (n^61)) f[2+n]-(27276878942915969107316087331005399040+705128506368571028133010447867324661760 n+8795984422030468128177510606635859443712 (n^2)+69923155581931005683616191106190820769792 (n^3)+397777067188645895439894469915116729532416 (n^4)+1729204532204996997152583407397237453225984 (n^5)+5995525164632894191922695828861346535505920 (n^6)+17088735819395764913747809298043883399888896 (n^7)+40950242468668902568149188809126378671144960 (n^8)+83944922396996847271825479812337521047842816 (n^9)+149241076173129905329165504863175575091332096 (n^10)+232683501679364482345805030869544077599268352 (n^11)+321069920926096778719573512107074163678806528 (n^12)+395099424821926843732271053703633605285841664 (n^13)+436399473903028869076842967038797890370004032 (n^14)+435026967213159405048515684405715110378338720 (n^15)+393230111147319510033909063747616966700500160 (n^16)+323623592515063057301937486575186179314548656 (n^17)+243346679569443698265032683268250796082355872 (n^18)+167699480512372076874814970574805341647426008 (n^19)+106198031145430172090232700406650650176362252 (n^20)+61942356363090378267431321236277379702842498 (n^21)+33344350577247386451113806267465360943413242 (n^22)+16595113813714428964861691068549243862900514 (n^23)+7647457411737976747992069047332333397916774 (n^24)+3267331144899381542768858934068187529943662 (n^25)+1295632087778176811117167430324892967262289 (n^26)+477281953036655577658172066157254622874249 (n^27)+163451731801877305191319996120051969522930 (n^28)+52067844190687573163358660941762172198124 (n^29)+15434420976233983819168350126595595202140 (n^30)+4258528038477820285037384293734708124148 (n^31)+1093751039753805052074448772782500867240 (n^32)+261482348137970277384591678834281844450 (n^33)+58175398225026023823129376451604957051 (n^34)+12040624671354180854266520205844399991 (n^35)+2317073223658459084340945199597363112 (n^36)+414290751988803620905542484937609472 (n^37)+68763751517799771571460168482707342 (n^38)+10583544268756001126111015357786438 (n^39)+1508533267822499512906498412337430 (n^40)+198821183372782469752192989049026 (n^41)+24186388725302176057341026698695 (n^42)+2709982082198798782794681162855 (n^43)+278988479854541096081379081954 (n^44)+26314522078796930198189306612 (n^45)+2266504237219506659730716168 (n^46)+177578797780695304231916832 (n^47)+12598833333382387109147196 (n^48)+805098410198134438811902 (n^49)+46044417764504993310349 (n^50)+2338717637745860215073 (n^51)+104514427357536583000 (n^52)+4061699225871964542 (n^53)+135250177600636980 (n^54)+3784921061092388 (n^55)+86707444117568 (n^56)+1566227411552 (n^57)+21060262112 (n^58)+190971744 (n^59)+949440 (n^60)+1280 (n^61)) f[3+n]+(-167707728739563162662793640641822720000-1884621099579099264283288794700972032000 n-5041377848806910695366548334073767526400 (n^2)+46775477320896085249578292645052798730240 (n^3)+556885835525484915713810095094705435443200 (n^4)+3159242452468551228562153543444819393904640 (n^5)+12415541071618540660307393273559673826377728 (n^6)+37637925296940019781324185478731922295963648 (n^7)+92737714460401157604501008974332095412830208 (n^8)+191667000496318490779014701563244967355920384 (n^9)+339452263097369421820859975846282755107529728 (n^10)+523248300281830339242284804346885285914676736 (n^11)+710386898168009760958599932526536214775457280 (n^12)+857462533335657188694551242676693238363818752 (n^13)+927185892315490057264223661958052089087716416 (n^14)+903794264491665943887994150618261070781888544 (n^15)+798358468088992068216784561678832305544914688 (n^16)+641910993104210400936977369822714460830564208 (n^17)+471562530047346319754202040007262652757218624 (n^18)+317538797128843618565893715748339861357902640 (n^19)+196542800425272936030894969376573161178781716 (n^20)+112089205036988299699706179845387148374717002 (n^21)+59022381396427738240092380898572083968461562 (n^22)+28746865359106416256416247321136578512534282 (n^23)+12970254953319120480983509703101810054182782 (n^24)+5428183614772190906005960866663410280479562 (n^25)+2109510758277426773606416875119872314811877 (n^26)+761938745869645201813190530563834432295465 (n^27)+255965695136511737849398726940189624590934 (n^28)+80021356179793507587079440531706016662668 (n^29)+23289571211370481847378953662633197929068 (n^30)+6311748066033135567176717489354950656844 (n^31)+1592960015056501397895148828890424971668 (n^32)+374365028306562451548967569889349299994 (n^33)+81907187008712905581886627733322657947 (n^34)+16676994045570734948021794434982584627 (n^35)+3158233696398401126430392498360079036 (n^36)+555889720171821324468177471226088216 (n^37)+90857083052539834834050188828261198 (n^38)+13774542091612157361488698113634638 (n^39)+1934519485240215372599275594201750 (n^40)+251288787124077923597876350839934 (n^41)+30136222767569363668692805964139 (n^42)+3329676213071448715046083817455 (n^43)+338100507320636683862629994494 (n^44)+31461631160467405736547997940 (n^45)+2674035177086832347621329096 (n^46)+206786377638960225950374136 (n^47)+14483513059358524937574360 (n^48)+913893080887697869410574 (n^49)+51619555838689353242549 (n^50)+2589956035399262629893 (n^51)+114354608201432199836 (n^52)+4391706562159684062 (n^53)+144543224194970180 (n^54)+3998894202305188 (n^55)+90585200571648 (n^56)+1618378146784 (n^57)+21530125088 (n^58)+193247264 (n^59)+952000 (n^60)+1280 (n^61)) f[4+n]+(146973883013564258890458767567093760000+2229259984516059314164243577955680256000 n+16595245522055651232438964274595574579200 (n^2)+82110213857892331021373929579308684410880 (n^3)+310740084394832008017420625315940985077760 (n^4)+983450262875422499074965195835230498914304 (n^5)+2752795738160705474897634293607251897352192 (n^6)+6979426901876915027726954745414540323635200 (n^7)+16022042987367137971152393882056321496649728 (n^8)+32976239563629576537093753171267079363952640 (n^9)+60348223112048685326140378332733677958551552 (n^10)+97870234277454774181867539360398981127882752 (n^11)+140769737681664961820732259956248222002156544 (n^12)+180159949407962743950515756408355287251632128 (n^13)+206063708436712977188583276398745589001139968 (n^14)+211629972252724984409247015325612755050864384 (n^15)+196052177074481560658330639762342332344444048 (n^16)+164525447978078562567838918443591164707502416 (n^17)+125556179875444843058702170521611753698519256 (n^18)+87435155865587777892765113376420118121960328 (n^19)+55732185112640160274945213210191691809530492 (n^20)+32603848226154254694224926180497667742692898 (n^21)+17546915408521547104784732751147391512437658 (n^22)+8705564957790628615250340784589164051237410 (n^23)+3988719282955627082164451161346964412614922 (n^24)+1690355246982168411514553093925250510197586 (n^25)+663435741557456861450332956793381788403741 (n^26)+241419754068235849516846929157324919604649 (n^27)+81525053083740624437032057330999824995610 (n^28)+25566108133626930799108150870844970750372 (n^29)+7449510928708389104237268058331083573272 (n^30)+2017628218981886286590169884480431538092 (n^31)+508034801230647487942634941743803660008 (n^32)+118932982740371640583748836229570720114 (n^33)+25882966091402668443156859423413630159 (n^34)+5234831252327150258495816833335987083 (n^35)+983485163689520917457934207647204592 (n^36)+171526535385991276074256199958715648 (n^37)+27748080934509521703257731932900950 (n^38)+4159340594584083287370449291142406 (n^39)+576981874549508051423551767867114 (n^40)+73960066614630153761116279570486 (n^41)+8745090271861061856731036132491 (n^42)+951844347105863253364908309823 (n^43)+95138142685999346905079417738 (n^44)+8707815519389802473929517372 (n^45)+727452758910755330250630756 (n^46)+55255418993869721987243656 (n^47)+3798932121017318727211124 (n^48)+235152612408584314355478 (n^49)+13022051437733827813521 (n^50)+640211109261103389509 (n^51)+27683156067422637168 (n^52)+1040643976182868542 (n^53)+33508905375528340 (n^54)+906557733231620 (n^55)+20073465051104 (n^56)+350427896160 (n^57)+4554253344 (n^58)+39936608 (n^59)+192448 (n^60)+256 (n^61)) f[5+n]-(-229133653589293103588089989773131776000-2707218686086927844219339121202456166400 n-8435158839130133492119907321120544522240 (n^2)+57312106282972020092113166164705144995840 (n^3)+761311556185420846905694442317899022860288 (n^4)+4470070472792421402760998791768772851073024 (n^5)+17933275241733080753971051500884064151535616 (n^6)+55163890293619386176182666327824835758047232 (n^7)+137396641381867437272033940971117581338464256 (n^8)+286236922551698791964818718459230151232184320 (n^9)+509799264887681665018259066709529133495617536 (n^10)+788651555674921555121999082128867307071072256 (n^11)+1072588143491400565323822921025679581406329856 (n^12)+1294744188580567907082105180269849560142171648 (n^13)+1397941057071523729674966499885688914786767104 (n^14)+1358660215905239775278697600361668905916384384 (n^15)+1194983627524612608767092393372811905774530512 (n^16)+955428594075553278209673752244502528652871632 (n^17)+697089659895187705783120568296945401635556904 (n^18)+465656730189159752034253308339764890945988496 (n^19)+285604431687495229880881251511616073109650220 (n^20)+161232532865686268214919319101899922033636862 (n^21)+83955845991827386122821327404717592026870110 (n^22)+40397529485287635174511174996855520331201558 (n^23)+17990657209554183341396289732046387408087174 (n^24)+7425224905641533823522969250408974792884434 (n^25)+2843367741942140922093698660861113923900963 (n^26)+1011168561548543796801655543741138811011507 (n^27)+334201980134186841985596581694146281914418 (n^28)+102717210317860109532509242812022564194860 (n^29)+29370354351546973498662057262843294604096 (n^30)+7814863828387728382126093354840716158868 (n^31)+1935205500844458362351907362574701252076 (n^32)+445970814156252687541717555256393051710 (n^33)+95625156036928688663360232186306822077 (n^34)+19070756523821114762082917501786328629 (n^35)+3535622715616424883553216938987081532 (n^36)+608924288966351008440912039102146104 (n^37)+97336892660236397648749897843495650 (n^38)+14425803764696881833933919196754354 (n^39)+1979652359568410734625780917990814 (n^40)+251164938768336941770845524474110 (n^41)+29408294486395333803864974921629 (n^42)+3171106066171398274360702357901 (n^43)+314139274560185545478142702954 (n^44)+28508357961055344546198016916 (n^45)+2362252408109032902335223380 (n^46)+178036706377314851710827640 (n^47)+12149450550976441759660448 (n^48)+746700160166119020800866 (n^49)+41068868731260336676891 (n^50)+2005971167965587366107 (n^51)+86201183906778839132 (n^52)+3221230995223510058 (n^53)+103140014798676940 (n^54)+2775465779235692 (n^55)+61145713649888 (n^56)+1062388816288 (n^57)+13746710944 (n^58)+120074336 (n^59)+576832 (n^60)+768 (n^61)) f[6+n]+(-205329880537617010501022298748747776000-2696078286141154627238041660556732006400 n-13446746876280445907576988016652310282240 (n^2)-9572101437141628816667721484850492866560 (n^3)+280182940654525918506623162238291749634048 (n^4)+2094095152538489412154535455992036382212096 (n^5)+9063043112286942735738908649797197564280832 (n^6)+28763695575379100484547551886516377655984128 (n^7)+72587277948926887578249012833148937342402560 (n^8)+151848308039043719353760639271736941736587264 (n^9)+270228635931765132109743959410128481769127936 (n^10)+416475851930582110790956894347255568214041600 (n^11)+563273528848780505801853290651985532735597568 (n^12)+675378713606734164964894487190643586775823616 (n^13)+723772257202863431434275435199614271966064896 (n^14)+697846465839303446043836853429870244915884800 (n^15)+608706380872990973730902890434221992542828992 (n^16)+482560435172785135279241439251298345923241248 (n^17)+349054980225759116262635139230522365632991808 (n^18)+231147595596532620592379457194557347102467288 (n^19)+140536192755338951691788258703532233289176732 (n^20)+78644201689438279267336949795701480453983370 (n^21)+40593143275902089690541181091180591688214746 (n^22)+19361740620088456118995567543717926580867170 (n^23)+8547241017147324196672102915309670663358310 (n^24)+3496868703574705660432884441070148864445574 (n^25)+1327376171171369752308048746304225126827565 (n^26)+467923258436459092038397095600958333553789 (n^27)+153301662682604734680685528474464248493050 (n^28)+46704858741585641410966274980319548456852 (n^29)+13237336261385959202565843547692916281036 (n^30)+3491195603476702931319945067604568162828 (n^31)+856894095632874258492412142645342853768 (n^32)+195720752557255112678769676790740646042 (n^33)+41592327466920617640131171642573300047 (n^34)+8220478083640342014901813382323247819 (n^35)+1510281458336947632567400840635396600 (n^36)+257744957982899404990201966847018128 (n^37)+40823363729408037724579306410090910 (n^38)+5994359838556501099719702325281158 (n^39)+814944222044225628890907403778678 (n^40)+102422776251835173864123492495018 (n^41)+11878625574103989575227584857771 (n^42)+1268598347854663415431294550179 (n^43)+124454005507987360466745640362 (n^44)+11183726605231249216080033340 (n^45)+917531675574530213244008152 (n^46)+68459846335433575358003800 (n^47)+4624495807310652011314684 (n^48)+281309213929495034504854 (n^49)+15311862610709369056793 (n^50)+740055853160834519261 (n^51)+31464751682713946856 (n^52)+1163191934453543606 (n^53)+36840351024083332 (n^54)+980508441304116 (n^55)+21362825138432 (n^56)+367049792736 (n^57)+4696674016 (n^58)+40576224 (n^59)+192960 (n^60)+256 (n^61)) f[7+n]==0;

recSol=SolveRecurrence[rec,f[n],IndefiniteSummation->False,SigmaPrint->True]

recSol=SolveRecurrence[rec,f[n],SigmaPrint->True]

sol=FindLinearCombination[recSol,{3,{-(63653/3888),-(8802581/486000),-(5234029/270000),-(13978373/686000),-(15827913259/746807040),-(1578915745223/72013536000),-(95194737209/4219543125)}},n,7]

sol=sol//TransformToSSums//ReduceToBasis//CollectProdSum

Automatic evaluation of sums

The physics example

summand=(j(Subscript[!, .]) k(Subscript[!, .]) N(Subscript[!, .]) (j+k+N)(Subscript[!, .]) (((2+2 j+k+N)/((1+j+k) (1+j+N)))-S[1,j]+S[1,j+k]+S[1,j+N]-S[1,j+k+N]))/((1+j+k)(Subscript[!, .]) (1+j+N)(Subscript[!, .]) (1+k+N)(Subscript[!, .]));

mySum=(Underoverscript[(∑^(.)), (k=0), ∞])(Underoverscript[(∑^(.)), (j=0), ∞])summand

EvaluateMultiSum[mySum,{},{N},{1},{Infinity}]

0.999 ... = 1?

mySum = (Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), ∞])(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), ∞])((S[1,j] (-1+(1/(1+k))+S[1,k]))/(j k (1+k) (j+k)));

EvaluateMultiSum[mySum, {}, {}, {}, {}]

Part 2

Refined telescoping

mySum=(Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 6])=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 5])=1), (Subscript[ο, 6])])(((Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 4])=1), (Subscript[ο, 5])])(((Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 3])=1), (Subscript[ο, 4])])(((Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 2])=1), (Subscript[ο, 3])])(1/(Subscript[ο, 2])))/(Subscript[ο, 3])))/(Subscript[ο, 4])))/(Subscript[ο, 5])))/(Subscript[ο, 6]));

SigmaReduce[mySum]

SigmaReduce[(Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ι, 1])=1), n])(1/(Subscript[ι, 1]^2)),Tower->{(Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 3])=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 2])=1), (Subscript[ο, 3])])(1/(Subscript[ο, 2])))/(Subscript[ο, 3]))},SimplifyByExt->None]

mySum=(Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 4])=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 3])=1), (Subscript[ο, 4])])(((Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ο, 2])=1), (Subscript[ο, 3])])(1/(Subscript[ο, 2])))/(Subscript[ο, 3]^2)))/(Subscript[ο, 4]^2));

SigmaReduce[mySum]

Calkin2=(Underoverscript[(∑^(.)), (k=0), n])((((Underoverscript[(∑^(.)), (i=0), k])(((({{a}, {i}})))^(.))))^2);

res=SigmaReduce[Calkin2]

qSum=(Underoverscript[(∑^(.)), ({{(Subscript[ι, 1])=1}}), N])((((((q))^(Underscript[(Subscript[ι, 1]), .])) (Underoverscript[(∑^(.)), ({{(Subscript[ι, 2])=1}}), (Subscript[ι, 1])])((((((q))^(Underscript[(Subscript[ι, 2]), .])) (Underoverscript[(∑^(.)), ({{(Subscript[ι, 3])=1}}), (Subscript[ι, 2])])(((((q))^(Underscript[(Subscript[ι, 3]), .]))/(-1+(q^(Underscript[K, .])) (((q))^(Underscript[(Subscript[ι, 3]), .]))))))/(-1+(q^(Underscript[K, .])) (((q))^(Underscript[(Subscript[ι, 2]), .]))))))/(-1+(q^(Underscript[K, .])) (((q))^(Underscript[(Subscript[ι, 1]), .])))));

SigmaReduce[qSum]

mySum=(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), K])((x-(((1-x))^(Underscript[1+m, .])) (Underoverscript[(∑^(.)), ((Subscript[ι, 1])=0), k])(((Subscript[ι, 1]) (((({{m+(Subscript[ι, 1])}, {m}})))^(.)) (x^(Underscript[(Subscript[ι, 1]), .])))/(m+(Subscript[ι, 1]))))/(x (((({{k+m}, {n}})))^(.))));

result=SigmaReduce[mySum,Assumptions->{m≥n}]

mySum=(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(k^2) (Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), k])X[i];

res=SigmaReduce[mySum,XList->{X}]

Refined creative telescoping

mySum=SigmaSum[S[2,k]SigmaBinomial[n,k],{k,0,n}]

GenerateRecurrence[mySum]

GenerateRecurrence[mySum,SimplifyByExt->DepthNumber]

mySum=SigmaSum[S[2,1,k]SigmaBinomial[n,k],{k,0,n}]

GenerateRecurrence[mySum,SimplifyByExt->None]

GenerateRecurrence[mySum,SimplifyByExt->MinDepth]

The problem SigmaReduce

A1=SigmaSum[SigmaSum[1/i,{i,1,k}]SigmaSum[1/i^3,{i,1,k}]/(k+1),{k,1,n}]

A2=(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), n])(1/(i^5))-(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), n])(1/(i^4)))/(1+n))-(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/(i^4)))/j)-(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/(i^3)))/(j^2))+(((Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/(i^3)))/j))/(1+n))-(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/i))/(j^4))+(((Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/i))/(j^3)))/(1+n))+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), k])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/(i^3)))/j))/k)+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(((Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), k])(((Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), j])(1/i))/(j^3)))/k);

{A1,A2}/.n->4

SigmaReduce[A1-A2,n]

varL=Append[Variables[A2],A1]

varLRed=SigmaReduce[varL,n]

MapThread[Rule,{varL,varLRed}]//MatrixForm

Part 3

Unfair permutations

sumExpr=(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), (-1+j)])((j^2)/(((i+j))^2))+(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), n])(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), (-1+j)])(j/(i+j))+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), (-1+k)])(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), (-1+j)])((j k)/((i+j) (i+k)))+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), (-1+k)])(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), (-1+j)])((j k)/((i+j) (j+k)))+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), (-1+k)])(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), (-1+j)])((k^2)/((i+k) (j+k)))+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), (-1+k)])(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), (-1+j)])(k/(i+j+k))+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), (-1+k)])(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), (-1+j)])((j k)/((i+j) (i+j+k)))+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=3), n])(Underoverscript[(∑^(.)), (j=2), (-1+k)])(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), (-1+j)])((j k)/((i+j) (i+j+k)))+(Underoverscript[(∑^(.)), (k=1), n])(Underoverscript[(∑^(.)), (j=1), (-1+k)])(Underoverscript[(∑^(.)), (i=1), (-1+j)])((j k)/((i+k) (i+j+k)));

res=EvaluateMultiSum[sumExpr,{},{n},{3}]//Timing

GetFullDefinition[res,n]//ToSpecialFunction

Example: Finite Element Method

Jacobi=(Underoverscript[(∑^(.)), (j=0), k])(((((Subscript[(-k), j]) (Subscript[(1+k), j]) (((((1-x)/2)))^(Underscript[j, .])))/(j(Subscript[!, .]) (Subscript[(2), j]))) (Subscript[(2), k]))/(k(Subscript[!, .])));

recP=GenerateRecurrence[Jacobi][[1]]/.SUM->P

mySum=SigmaSum[(2k+1)/(k+1) P[k],{k,1,n}]

SigmaReduce[mySum,{{recP,P[k]}}]

A=B

lhs

recLHS=GenerateRecurrence[(Underoverscript[(∑^(.)), (k=0), n])(Subscript[(((((((({{n}, {k}})))^(.))))^4)), (Subscript[k, .])])]

rhs

innerSum=(Underoverscript[(∑^(.)), (s=0), (1+n)])(((({{n}, {k}})))^(.)) (((({{n}, {s}})))^(.)) (((({{k+n}, {k}})))^(.)) (((({{-k+2 n-s}, {n}})))^(.)) (((({{n+s}, {s}})))^(.)) (((-1))^(Underscript[k+n+s, .]));

recK=GenerateRecurrence[innerSum,k][[1]]/.{SUM->P}

mySum=SigmaSum[P[k],{k,0,n}]

SigmaReduce[mySum,{recK,P[k]}]

recKN=GenerateRecurrence[innerSum,k,OneShiftIn->n][[1]]/.SUM->P

GenerateRecurrence[mySum,n,{{recK,P[k]}},recKN]

recLHS