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Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur) - Partie 1
Post-edited
Authors : Bouttier, Jérémie (Author of the conference)
CIRM (Publisher )
05A17 - Partitions of integers (combinatorics)
05E10 - Combinatorial aspects of representation theory
60C05 - Combinatorial probability
60G55 - Point processes
Additional resources :
https://www.cirm-math.fr/RepOrga/1952/Slides/Bouttier_Alea.pdf
CIRM (Publisher )
Abstract :
Le but de ce cours sera de présenter quelques techniques liées aux processus de Schur, dans le cadre le plus simple de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers.
La mesure de Plancherel est une mesure sur l'ensemble des partitions d'un entier n, où une partition donnée apparaît avec une probabilité proportionnelle au carré de son nombre de tableaux de Young standard. Cette mesure apparaît très naturellement en lien avec le fameux problème de Ulam-Hammersley, qui consiste à étudier la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme de {1,...,n}. Il est en fait fructueux de travailler avec une version «poissonisée» du problème, où la taille n est tirée selon une loi de Poisson, dont on fera tendre le paramètre vers l'infini afin d'étudier les asymptotiques.
Dans la première séance, nous verrons que la mesure de Plancherel poissonisée est en fait un processus déterminantal, dont le noyau de corrélation fait intervenir les fonctions de Bessel. Nous utiliserons pour cela le formalisme de l'espace de Fock fermionique. (Toutes les notions nécessaires seront introduites au fur et à mesure, de la manière la plus élémentaire possible.)
Dans la seconde séance, nous étudierons les différentes asymptotiques du noyau de corrélation, par une application élégante de la méthode du col due à Okounkov et Reshetikhin. Nous verrons en particulier apparaître un phénomène de forme-limite, le noyau sinus discret dans le cas des limites «bulk» et le noyau d'Airy dans la limite «edge». In fine, nous aboutirons à une preuve du théorème de Baik-Deift-Johansson (1998) énonçant que les fluctuations de la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme ont asymptotiquement la même distribution que la plus grande valeur propre d'une matrice hermitienne aléatoire.
Keywords : Young diagram; Plancherel measure; permutations; Baik-Deift-Johannson theorem; Ulam-Hammersley problem
MSC Codes : La mesure de Plancherel est une mesure sur l'ensemble des partitions d'un entier n, où une partition donnée apparaît avec une probabilité proportionnelle au carré de son nombre de tableaux de Young standard. Cette mesure apparaît très naturellement en lien avec le fameux problème de Ulam-Hammersley, qui consiste à étudier la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme de {1,...,n}. Il est en fait fructueux de travailler avec une version «poissonisée» du problème, où la taille n est tirée selon une loi de Poisson, dont on fera tendre le paramètre vers l'infini afin d'étudier les asymptotiques.
Dans la première séance, nous verrons que la mesure de Plancherel poissonisée est en fait un processus déterminantal, dont le noyau de corrélation fait intervenir les fonctions de Bessel. Nous utiliserons pour cela le formalisme de l'espace de Fock fermionique. (Toutes les notions nécessaires seront introduites au fur et à mesure, de la manière la plus élémentaire possible.)
Dans la seconde séance, nous étudierons les différentes asymptotiques du noyau de corrélation, par une application élégante de la méthode du col due à Okounkov et Reshetikhin. Nous verrons en particulier apparaître un phénomène de forme-limite, le noyau sinus discret dans le cas des limites «bulk» et le noyau d'Airy dans la limite «edge». In fine, nous aboutirons à une preuve du théorème de Baik-Deift-Johansson (1998) énonçant que les fluctuations de la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme ont asymptotiquement la même distribution que la plus grande valeur propre d'une matrice hermitienne aléatoire.
Keywords : Young diagram; Plancherel measure; permutations; Baik-Deift-Johannson theorem; Ulam-Hammersley problem
05A17 - Partitions of integers (combinatorics)
05E10 - Combinatorial aspects of representation theory
60C05 - Combinatorial probability
60G55 - Point processes
Additional resources :
https://www.cirm-math.fr/RepOrga/1952/Slides/Bouttier_Alea.pdf
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Information on the Video
Film maker : Hennenfent, GuillaumeLanguage : French Available date : 11/04/2019 Conference Date : 20/03/2019 Subseries : Research School arXiv category : Probability ; Combinatorics ; Mathematical Physics Mathematical Area(s) : Combinatorics ; Probability & Statistics Format : MP4 (.mp4) - HD Video Time : 01:18:41 Targeted Audience : Researchers ; Graduate Students Download : https://videos.cirm-math.fr/2019-03-20_Bouttier_Part1.mp4 
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Information on the Event
Event Title : ALEA Days / Journées ALEAEvent Organizers : Chapuy, Guillaume ; Goldschmidt, Christina ; Duchi, Enrica Dates : 18/03/2019 - 22/03/2019 Event Year : 2019 Event URL : https://conferences.cirm-math.fr/1952.html
Citation Data
DOI : 10.24350/CIRM.V.19507603Cite this video as: Bouttier, Jérémie (2019). Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur) - Partie 1. CIRM. Audiovisual resource. doi:10.24350/CIRM.V.19507603 URI : http://dx.doi.org/10.24350/CIRM.V.19507603 |
See Also
- [Multi angle] Identités de $q$-séries et de partitions / Author of the conference Dousse, Jehanne.
- [Multi angle] Méthode des invariants de Tutte et mouvement brownien réfléchi dans des cônes / Author of the conference Franceschi, Sandro.
- [Multi angle] Invariants de Tutte et convergence des cartes avec modèle d'Ising / Author of the conference Albenque, Marie.
- [Multi angle] Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur) - Partie 2 / Author of the conference Bouttier, Jérémie.
Bibliography
- Romik, D. (2015). The surprising mathematics of longest increasing subsequences. Cambridge: Cambridge University Press - https://doi.org/10.1017/CBO9781139872003
