Since the proof of the Calabi conjecture given by Yau, complex Monge-Ampère equations on compact Kähler manifolds have been intensively studied.
In this talk we consider complex Monge-Ampère equations with prescribed singularities. More precisely, we fix a potential and we show existence and uniqueness of solutions of complex Monge-Ampère equations which have the same singularity type of the model potential we chose. This result can be interpreted as a generalisation of Yau's theorem (in this case the model potential is smooth).
As a corollary we obtain the existence of singular Kähler-Einstein metrics with prescribed singularities on general type and Calabi-Yau manifolds.
This is a joint work with Tamas Darvas and Chinh Lu.[-]

Wang et Zhu ont caractérisé l'existence de métriques de Kähler-Einstein sur les variétés toriques Fano en termes du barycentre du polytope associé. L'objectif de cet exposé est de présenter un résultat similaire pour les compactifications $G \times G$-équivariantes Fano d'un groupe réductif $G$. Je présenterai le polytope moment associé à une telle variété et comment le barycentre de ce polytope par rapport à la mesure de Duistermaat-Heckman est lié à l'existence de métriques de Kähler-Einstein. La condition nécessaire et suffisante d'existence de métriques de Kähler-Einstein ainsi obtenue est vérifiable en pratique et donne de nouveaux exemples de variétés de Kähler-Einstein Fano (par exemple la compactification magnifique du groupe semisimple adjoint PSL$(3, \mathbb{C})$).[-]