A serious problem common to all interval algorithms is that they suffer from wrapping effects, i.e. unnecessary growth of approximations during a computation. This is essentially connected to functional dependencies inside vectors of data computed from the same inputs. Reducing these effects is an important issue in interval arithmetic, where the most successful approach uses Taylor models.
In TTE Taylor models have not been considered explicitly, as they use would not change the induced computability, already established using ordinary interval computations. However for the viewpoint of efficiency, they lead to significant improvements.
In the talk we report on recent improvements on the iRRAM software for exact real arithmetic (ERA) based on Taylor models. The techniques discussed should also easily be applicable to other software for exact real computations as long as they also are based on interval arithmetic.
As instructive examples we consider the one-dimensional logistic map and a few further discrete dynamical systems of higher dimensions
Joint work with Franz Brauße, Trier, and Margarita Korovina, Novosibirsk.[-]

De nombreux problèmes d'optimisation sont NP-complets. Nous ne connaissons pas de problème NP-complet qui admette un algorithme optimal de résolution s'exécutant en temps polynomial en la taille de l'instance (sinon P=NP serait établi), et l'intuition commune est que P =/= NP. Pour ces problèmes, la recherche de solutions optimales peut donc être prohibitive. Les algorithmes d'approximation offrent un compromis intéressant: par définition, ils s'exécutent en temps polynomial et fournissent des solutions dont la qualité est garantie. Nous introduirons la notion d'algorithme d'approximation et de schéma d'approximation en temps polynomial, et nous illustrerons ces notions sur de nombreux exemples. Nous montrerons également comment établir qu'un problème n'admet pas d'algorithme d'approximation (à moins que P=NP), ou comment établir une borne inférieure au facteur d'approximation de tout algorithme d'approximation (sauf si P=NP).[-]

Dans la deuxième partie de ce cours nous considérerons un problème lié, celui des algorithmes compétitifs. Dans le cadre de l'algorithmique « en-ligne », les caractéristiques d'une instance d'un problème ne sont découvertes qu'au fur et à mesure du traitement de l'instance (comme on ne découvre l'histoire d'un livre qu'au fur et à mesure où on en lit des pages). Ne pas connaître à l'avance toutes les caractéristiques d'une instance interdit souvent - mais pas toujours - de construire un algorithme optimal. Nous montrerons, entre autres, comment utiliser la technique de l'adversaire pour établir une borne inférieure au facteur de compétitivité de tout algorithme en-ligne (cette fois-ci en dehors de toute notion de complexité).[-]

Le problème Graph Motif est défini comme suit : étant donné un graphe sommet colorié G=(V,E) et un multi-ensemble M de couleurs, déterminer s'il existe une occurrence de M dans G, c'est-à-dire un sous ensemble V' de V tel que
(1) le multi-ensemble des couleurs de V' correspond à M,
(2) le sous-graphe G' induit par V' est connexe.
Ce problème a été introduit, il y a un peu plus de 10 ans, dans le but de rechercher des motifs fonctionnels dans des réseaux biologiques, comme par exemple des réseaux d'interaction de protéines ou des réseaux métaboliques. Graph Motif a fait depuis l'objet d'une attention particulière qui se traduit par un nombre relativement élevé de publications, essentiellement orientées autour de sa complexité algorithmique.
Je présenterai un certain nombre de résultats algorithmiques concernant le problème Graph Motif, en particulier des résultats de FPT (Fixed-Parameter Tractability), ainsi que des bornes inférieures de complexité algorithmique.
Ceci m'amènera à détailler diverses techniques de preuves dont certaines sont plutôt originales, et qui seront je l'espère d'intérêt pour le public.[-]

Le problème Graph Motif est défini comme suit : étant donné un graphe sommet colorié G=(V,E) et un multi-ensemble M de couleurs, déterminer s'il existe une occurrence de M dans G, c'est-à-dire un sous ensemble V' de V tel que
(1) le multi-ensemble des couleurs de V' correspond à M,
(2) le sous-graphe G' induit par V' est connexe.
Ce problème a été introduit, il y a un peu plus de 10 ans, dans le but de rechercher des motifs fonctionnels dans des réseaux biologiques, comme par exemple des réseaux d'interaction de protéines ou des réseaux métaboliques. Graph Motif a fait depuis l'objet d'une attention particulière qui se traduit par un nombre relativement élevé de publications, essentiellement orientées autour de sa complexité algorithmique.
Je présenterai un certain nombre de résultats algorithmiques concernant le problème Graph Motif, en particulier des résultats de FPT (Fixed-Parameter Tractability), ainsi que des bornes inférieures de complexité algorithmique.
Ceci m'amènera à détailler diverses techniques de preuves dont certaines sont plutôt originales, et qui seront je l'espère d'intérêt pour le public.[-]