Le but de ce cours sera de présenter quelques techniques liées aux processus de Schur, dans le cadre le plus simple de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers.
La mesure de Plancherel est une mesure sur l'ensemble des partitions d'un entier n, où une partition donnée apparaît avec une probabilité proportionnelle au carré de son nombre de tableaux de Young standard. Cette mesure apparaît très naturellement en lien avec le fameux problème de Ulam-Hammersley, qui consiste à étudier la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme de {1,...,n}. Il est en fait fructueux de travailler avec une version «poissonisée» du problème, où la taille n est tirée selon une loi de Poisson, dont on fera tendre le paramètre vers l'infini afin d'étudier les asymptotiques.
Dans la première séance, nous verrons que la mesure de Plancherel poissonisée est en fait un processus déterminantal, dont le noyau de corrélation fait intervenir les fonctions de Bessel. Nous utiliserons pour cela le formalisme de l'espace de Fock fermionique. (Toutes les notions nécessaires seront introduites au fur et à mesure, de la manière la plus élémentaire possible.)
Dans la seconde séance, nous étudierons les différentes asymptotiques du noyau de corrélation, par une application élégante de la méthode du col due à Okounkov et Reshetikhin. Nous verrons en particulier apparaître un phénomène de forme-limite, le noyau sinus discret dans le cas des limites «bulk» et le noyau d'Airy dans la limite «edge». In fine, nous aboutirons à une preuve du théorème de Baik-Deift-Johansson (1998) énonçant que les fluctuations de la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme ont asymptotiquement la même distribution que la plus grande valeur propre d'une matrice hermitienne aléatoire.[-]

Le but de ce cours sera de présenter quelques techniques liées aux processus de Schur, dans le cadre le plus simple de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers.
La mesure de Plancherel est une mesure sur l'ensemble des partitions d'un entier n, où une partition donnée apparaît avec une probabilité proportionnelle au carré de son nombre de tableaux de Young standard. Cette mesure apparaît très naturellement en lien avec le fameux problème de Ulam-Hammersley, qui consiste à étudier la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme de {1,...,n}. Il est en fait fructueux de travailler avec une version «poissonisée» du problème, où la taille n est tirée selon une loi de Poisson, dont on fera tendre le paramètre vers l'infini afin d'étudier les asymptotiques.
Dans la première séance, nous verrons que la mesure de Plancherel poissonisée est en fait un processus déterminantal, dont le noyau de corrélation fait intervenir les fonctions de Bessel. Nous utiliserons pour cela le formalisme de l'espace de Fock fermionique. (Toutes les notions nécessaires seront introduites au fur et à mesure, de la manière la plus élémentaire possible.)
Dans la seconde séance, nous étudierons les différentes asymptotiques du noyau de corrélation, par une application élégante de la méthode du col due à Okounkov et Reshetikhin. Nous verrons en particulier apparaître un phénomène de forme-limite, le noyau sinus discret dans le cas des limites «bulk» et le noyau d'Airy dans la limite «edge». In fine, nous aboutirons à une preuve du théorème de Baik-Deift-Johansson (1998) énonçant que les fluctuations de la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme ont asymptotiquement la même distribution que la plus grande valeur propre d'une matrice hermitienne aléatoire.[-]

Les $q$-séries (parfois appelées séries basiques hypergéométriques) sont des séries construites en utilisant les $q$-factorielles $(a;q)_n := (1-a)(1-aq)...(1-aq^{n-1}).$ On les retrouve dans de nombreux domaines des mathématiques tels que la combinatoire, la théorie des nombres, la théorie des groupes et la physique mathématique. Sous l'influence de Ramanujan, les $q$-séries ont souvent été étudiées en relation avec les partitions d'entiers. Nous commencerons par une introduction générale aux $q$-séries et étudierons quelques identités classiques, puis nous verrons comment utiliser des identités de $q$-séries pour prouver des identités de partitions.[-]

In the 40s R. Feynman invented a simple model of electron motion, which is now known as Feynman's checkers. This model is also known as the one-dimensional quantum walk or the imaginary temperature Ising model. In Feynman's checkers, a checker moves on a checkerboard by simple rules, and the result describes the quantum-mechanical behavior of an electron.
We solve mathematically a problem by R. Feynman from 1965, which was to prove that the model reproduces the usual quantum-mechanical free-particle kernel for large time, small average velocity, and small lattice step. We compute the small-lattice-step and the large-time limits, justifying heuristic derivations by J. Narlikar from 1972 and by A.Ambainis et al. from 2001. The main tools are the Fourier transform and the stationary phase method.
A more detailed description of the model can be found in Skopenkov M.& Ustinov A. Feynman checkers: towards algorithmic quantum theory. (2020) https://arxiv.org/abs/2007.12879[-]

Schur measures are random integer partitions, that map to determinantal point processes. We explain how to construct such measures whose edge behavior (asymptotic distribution of the largest parts) is governed by a higher-order analogue of the Airy ensemble/Tracy-Widom GUE distribution. This 'multicritical' analogue was previously encountered in models of fermions in non-harmonic traps, considered by Le Doussal, Majumdar and Schehr. These authors noted a coincidental connection with unitary random matrix models, which our construction explains via an exact mapping. This part is based on joint work with Dan Betea and Harriet Walsh.
If time allows, I will hint at a possible generalization that would correspond to a unitary analogue of the Ambjørn-Budd-Makeenko hermitian one-matrix model. This is work in progress.[-]