The infinite bin model (IBM) is a family of ranked-biased branching random walks on the integers, parameterized by a probability distribution on positive integers. Alternatively it may be seen as a family of interacting particle systems, depicted as balls inside bins. The speed of the front of the IBM depends on the probability distribution which parameterizes it. I will first review some special cases that have been known for some time: the IBM parameterized by the uniform distribution on some finite interval of integers [1,N], which is nothing but a branching random walk with selection, and the IBM parameterized by a geometric distribution, which can be coupled with last passage percolation on the complete graph. Then I will discuss long memory properties of the IBM, in particular whether a site may reproduce infinitely often or not. Finally I will discuss a hydrodynamic limit of the IBM where one can explicitly compute the speed of the front. In that case, a wall-crossing phenomenon appears and Dyck paths come into play. The talk is based on joint works with Bastien Mallein (Université Toulouse III Paul Sabatier), Arvind Singh (CNRS and Université Paris-Saclay) and Benjamin Terlat (Université Paris-Saclay).[-]

Les posets (ensembles partiellement ordonnés) sont des structures utiles pour la modélisation de divers problèmes (scheduling, sous-groupes d'un groupe), mais ils sont aussi la base d'une théorie combinatoire très riche. Nous discuterons des paramètres de posets comme la largeur, la dimension et les partitions en chaînes. À partir de là on fera un lien avec les polynômes en introduisant et étudiant le polynôme d'ordre — un polynôme associé à tout poset. Nous développerons ensuite un lien avec les polytopes (objets de la géométrie discrète). Un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ est un polytope s'il peut être écrit comme le plus petit convexe contenant un ensemble de points V fini donné. Nous discuterons des polytopes entiers (c'est à dire $V\subset\mathbb{Z}^n$) et le polynôme d'Ehrhart qui est un polynôme associé à tout polytope entier. Le polytope d'ordre est un polytope associé à un poset. Nous montrerons que le polynôme d'Ehrhart du polytope d'ordre P est le polynôme d'ordre de P.[-]

Les posets (ensembles partiellement ordonnés) sont des structures utiles pour la modélisation de divers problèmes (scheduling, sous-groupes d'un groupe), mais ils sont aussi la base d'une théorie combinatoire très riche. Nous discuterons des paramètres de posets comme la largeur, la dimension et les partitions en chaînes. À partir de là on fera un lien avec les polynômes en introduisant et étudiant le polynôme d'ordre — un polynôme associé à tout poset. Nous développerons ensuite un lien avec les polytopes (objets de la géométrie discrète). Un sous-ensemble de $\mathbb{R}^n$ est un polytope s'il peut être écrit comme le plus petit convexe contenant un ensemble de points V fini donné. Nous discuterons des polytopes entiers (c'est à dire $V\subset\mathbb{Z}^n$) et le polynôme d'Ehrhart qui est un polynôme associé à tout polytope entier. Le polytope d'ordre est un polytope associé à un poset. Nous montrerons que le polynôme d'Ehrhart du polytope d'ordre P est le polynôme d'ordre de P.[-]

I will talk about a transformation involving double monotone Hurwitz numbers, which has several interpretations: transformation from maps to fully simple maps, passing from cumulants to free cumulants in free probability, action of an operator in the Fock space, symplectic exchange in topological recursion. In combination with recent work of Bychkov, Dunin-Barkowski, Kazarian and Shadrin, we deduce functional relations relating the generating series of higher order cumulants and free cumulants. This solves a 15-year old problem posed by Collins, Mingo, Sniady and Speicher (the first order is Voiculescu R-transform). This leads us to a general theory of 'surfaced' freeness, which captures the all order asymptotic expansions in unitary invariant random matrix models, which can be described both from the combinatorial and the analytic perspective.
Based on https://arxiv.org/abs/2112.12184 with Séverin Charbonnier, Elba Garcia-Failde, Felix Leid and Sergey Shadrin.[-]