Les chemins du plan confinés dans un quadrant, ou plus généralement dans un cône convexe, ont été beaucoup étudiés ces dernières années, et ont donné lieu à de jolis résultats. Le plus remarquable dit que, pour les chemins à petits pas, la série génératrice est différentiellement finie si et seulement si un certain groupe de transformations rationnelles, construit à partir des pas autorisés, est fini. Les méthodes employées, allant de l'algèbre élémentaire sur les séries formelles à l'analyse complexe, en passant, entre autres, par le calcul formel, sont variées, ce qui participe au charme du sujet. Mais quid des chemins dans un cône non convexe, et, typiquement, des chemins évitant un quadrant ? On étudiera les deux cas les plus naturels (pas NSEO, quadrant négatif ou quadrant Ouest interdit), en esquissant avec optimisme ce que pourrait être une classification pour ce problème.[-]

L'énumération des chemins du quadrant formés de petits pas (c'est-à-dire de pas aux 8 plus proches voisins) est maintenant bien comprise. En particulier, leur série génératrice est différentiellement finie (solution d'une ED linéaire à coefficients polynomiaux) si et seulement si un certain groupe de transformations rationnelles, associé à l'ensemble des pas autorisés (encore appelé modèle), est fini. Il n'est pas du tout évident d'étendre à des marches à pas plus grands les méthodes qui ont permis cette classification. Guy Fayolle et Kilian Raschel ont décrit les difficultés qu'il faut attendre si on essaie de généraliser l'approche par analyse complexe (laquelle est très puissante dans le cas de petits pas). Dans cet exposé, j'expliquerai comment étendre à des pas quelconques l'approche algébrique la plus simple, qui repose seulement sur des séries formelles. Elle ne s'applique qu'aux modèles à groupe fini, et encore, pas à tous : pour les chemins à petits pas, elle résout 19 des 23 modèles concernés, laissant de côté les 4 modèles algébriques. Mais elle est tout de même assez robuste : on verra par exemple que, pour des modèles à pas dans {-2,-1,0,1}$^2$ elle résout 231 des 240 modèles à groupe fini, mettant ainsi en lumière 9 modèles particulièrement intéressants.
Travail en commun avec Alin Bostan et Steve Melczer.[-]