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A Herglotz-Nevanlinna function is a holomorphic function $f$, defined in the upper half-plane $\mathbb{H}:=\{z \in \mathbb{C} \mid \Im z>0\}$, such that $\Im f(z) \geq 0$ for all $z \in \mathbb{H}$, and they are the functions in focus at the present conference. These functions are also called Pick functions, and they are characterized as the functions of the form$$f(z)=\alpha z+\beta+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t z+1}{t-z} d \tau(t), \quad z \in \mathbb{H}$$where $\alpha \geq 0, \beta \in \mathbb{R}$ and $\tau$ is a positive finite measure on $\mathbb{R}$.
Since $\mathbb{H}$ is a simply connected domain, caracterization of this class of functions is the same as characterization of the set of non-negative harmonic functions in $\mathbb{H}$ and by conformal mapping this set is in one-to-one correspondence with the set of non-negative harmonic functions in the unit disc.
We shall discuss various subclasses of Pick functions and their relation to other important classes of functions such as the completely monotonic functions and the subclass of Stieltjes functions. We recall that these classes are the functions $f:] 0, \infty[\rightarrow \mathbb{R}$ of the form$$f(x)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} d \mu(s), \quad \text { resp. } f(x)=a+\int_{0}^{\infty} \frac{d \mu(s)}{x+s}$$where $a \geq 0$ and $\mu$ is a non-negative measure on $[0, \infty[$.At the 7 th OPSFA, Copenhagen 2003 , we posed the problem of determining the largest value $\alpha=\alpha^{*}>0$ for which $f_{\alpha}(x)=e^{\alpha}-(1+1 / x)^{\alpha x}, x>0$ is a completely monotonic function, and it was noticed that $1 \leq \alpha^{*}<3$ and that graphs suggested that $\alpha^{*}>2$. The value has now been calculated with 20 decimals starting with $\alpha^{*} \approx 2.29965$.This is based on a recent result obtained in collaboration with Massa and Peron from Brazil. We have found a family $\varphi_{\alpha}, \alpha>0$ of entire functions such that$$f_{\alpha}(x)=\int_{0}^{\infty} e^{-s x} \varphi_{\alpha}(s) d s, \quad x>0 .$$We showed that each function $\varphi_{\alpha}$ has an alternating power series expansion, whose coefficients are determined as an explicit sequence of polynomials in $\alpha$. It is therefore possible to calculate as accurately as desired for which values of $\alpha$ the function $\varphi_{\alpha}$ is non-negative on $\left[0, \infty\left[\right.\right.$. It turned out that the functions $\varphi_{\alpha}$ are 'close' to the well known Bessel function $J_{1}$ when $\alpha$ is large, and 'close' to the Lambert $W$ function, when $\alpha$ is small.[-]
A Herglotz-Nevanlinna function is a holomorphic function $f$, defined in the upper half-plane $\mathbb{H}:=\{z \in \mathbb{C} \mid \Im z>0\}$, such that $\Im f(z) \geq 0$ for all $z \in \mathbb{H}$, and they are the functions in focus at the present conference. These functions are also called Pick functions, and they are characterized as the functions of the form$$f(z)=\alpha z+\beta+\int_{-\infty}^{\infty} \frac{t z+1}{t-z} d \tau(t), \quad z ...[+]

26A48 ; 30E20 ; 42A38

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V

6 Constructive continuity - ... (Principal) | 1983

Ouvrage


Cote : 00014712

03F65 ; 26A48 ; 54C30

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V

Cote : 00007392

26A48 ; 47A10

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V

6 Approximants de Pade - ... (Principal) | 1978

Ouvrage

- 511 p.
Cote : 00000626

26A48 ; 30Axx ; 42A16 ; 65D15

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V
- 194 p.
Cote : 00010366
convolution # distribution # équation fonctionnelle # fonction d'une variable # processus de Markov # théorème aux limites # théorie de la distribution # transformation de Laplace # variable aléatoire

26A48 ; 60E05 ; 60F05 ; 60G50 ; 60K05

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V

6 Regularly varying functions - ... (Principal) | 1976

Ouvrage


Cote : 00020545
fonction R-O variante # fonction S-O variante # fonction de variation régulière # généralisation de variation régulière # monotonicité # théorie secondaire des fonctions variant régulièrement # variation dominée

26A12 ; 26A48 ; 60E05

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V

Cote : 00021407
fonction complètement monotone # fonction définie positive

26A48 ; 42A82

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Cote : 00021780
approximation # condition optimal # dualité # fonction convexe # monotocité # optimisation # optimisation non convexe # problème d'équilibre # programmation mathématique # théorie des jeux

26A48 ; 26A51 ; 90A09 ; 90C05 ; 90Cxx

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V
- 175 p.
Cote : 00027445
problème # fonction numérique # manuel # exercice # continuité # foncion monotone # dérivabilité

26-01 ; 26A48 ; 00A07

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V

6 a First course in Sobolev spaces - ... (Principal) | 2009

Ouvrage

- xvi; 607 p.
Cote : 00035594
espace de Soboloev # espace de Besov # fonction absolument continue # théorie de la mesure

46E35 ; 26A24 ; 26A27 ; 26A30 ; 26A42 ; 26A45 ; 26A46 ; 26A48 ; 26B30

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