Nous confions à nos ordinateurs de nombreux calculs mais la machine a des limites due à son arithmétique dite à virgule flottante. D'une part chaque calcul est effectué avec un certain nombre de chiffres (souvent environ 15 chiffres décimaux) et donc chaque calcul peut créer une erreur, certes faible, mais qui peut s'accumuler avec les précédentes pour fournir un résultat complètement faux. D'autre part, les valeurs que l'ordinateur appréhende ont des limites vers l'infiniment petit et l'infiniment grand. Hors de ces bornes, l'ordinateur produit des valeurs spéciales souvent inattendues. La première partie de cet exposé montrera que l'ordinateur n'est pas infaillible ou plutôt que son utilisation est parfois abusive. La seconde partie consisitera en une utilisation judicieuse de l'arithmétique flottante de façon à récupérer les erreurs ou à garantir un calcul
presque juste, même dans les cas pathologiques.[-]

From a (partial) differential equation to an actual program is a long road. This talk will present the formal verification of all the steps of this journey. This includes the mathematical error due to the numerical scheme (method error), that is usually bounded by pen-and-paper proofs. This also includes round-off errors due to the floating-point computations.
The running example will be a C program that implements a numerical scheme for the resolution of the one-dimensional acoustic wave equation. This program is annotated to specify both method error and round-off error, and formally verified using interactive and automatic provers. Some work in progress about the finite element method will also be presented.[-]