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Documents  68N15 | enregistrements trouvés : 8

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Le calcul tensoriel sur les variétés différentielles comprend l'arithmétique des champs tensoriels, le produit tensoriel, les contractions, la symétrisation et l'antisymétrisation, la dérivée de Lie le long d'un champ vectoriel, le transport par une application différentiable (pullback et pushforward), mais aussi les opérations intrinsèques aux formes différentielles (produit intérieur, produit extérieur et dérivée extérieure). On ajoutera également toutes les opérations sur les variétés pseudo-riemanniennes (variétés dotées d'un tenseur métrique) : connexion de Levi-Civita, courbure, géodésiques, isomorphismes musicaux et dualité de Hodge.Dans ce cours, nous introduirons tout d'abord la problématique du calcul tensoriel formel, en distinguant le calcul dit “abstrait” du calcul explicite. C'est ce dernier qui nous intéresse ici. Il se ramène in fine au calcul symbolique sur les composantes des champs tensoriels dans un champ de repères, ces composantes étant exprimées en termes des coordonnées d'une carte donnée.
Nous discuterons alors d'une méthode de calcul tensoriel générale, valable sur l'intégralité d'une variété donnée, sans que l'utilisateur ait à préciser dans quels champs de repères et avec quelles cartes doit s'effectuer le calcul. Cela suppose que la variété soit couverte par un atlas minimal, défini carte par carte par l'utilisateur, et soit décomposée en parties parallélisables, i.e. en ouverts couverts par un champ de repères. Ces contraintes étant satisfaites, un nombre arbitraire de cartes et de champs de repères peuvent être introduits, pourvu qu'ils soient accompagnés des fonctions de transition correspondantes.
Nous décrirons l'implémentation concrète de cette méthode dans SageMath ; elle utilise fortement la structure de dictionnaire du langage Python, ainsi que le schéma parent/élément de SageMath et le modèle de coercition associé. La méthode est indépendante du moteur de calcul formel utilisé pour l'expression symbolique des composantes tensorielles dans une carte. Nous présenterons la mise en œuvre via deux moteurs de calcul formel différents : Pynac/Maxima (le défaut dans SageMath) et SymPy. Différents champs d'application seront discutés, notamment la relativité générale et ses extensions.
Le calcul tensoriel sur les variétés différentielles comprend l'arithmétique des champs tensoriels, le produit tensoriel, les contractions, la symétrisation et l'antisymétrisation, la dérivée de Lie le long d'un champ vectoriel, le transport par une application différentiable (pullback et pushforward), mais aussi les opérations intrinsèques aux formes différentielles (produit intérieur, produit extérieur et dérivée extérieure). On ajoutera ...

53-04 ; 53Axx ; 58C25 ; 68N01 ; 68N15 ; 68U05

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Le calcul tensoriel sur les variétés différentielles comprend l'arithmétique des champs tensoriels, le produit tensoriel, les contractions, la symétrisation et l'antisymétrisation, la dérivée de Lie le long d'un champ vectoriel, le transport par une application différentiable (pullback et pushforward), mais aussi les opérations intrinsèques aux formes différentielles (produit intérieur, produit extérieur et dérivée extérieure). On ajoutera également toutes les opérations sur les variétés pseudo-riemanniennes (variétés dotées d'un tenseur métrique) : connexion de Levi-Civita, courbure, géodésiques, isomorphismes musicaux et dualité de Hodge.Dans ce cours, nous introduirons tout d'abord la problématique du calcul tensoriel formel, en distinguant le calcul dit “abstrait” du calcul explicite. C'est ce dernier qui nous intéresse ici. Il se ramène in fine au calcul symbolique sur les composantes des champs tensoriels dans un champ de repères, ces composantes étant exprimées en termes des coordonnées d'une carte donnée.
Nous discuterons alors d'une méthode de calcul tensoriel générale, valable sur l'intégralité d'une variété donnée, sans que l'utilisateur ait à préciser dans quels champs de repères et avec quelles cartes doit s'effectuer le calcul. Cela suppose que la variété soit couverte par un atlas minimal, défini carte par carte par l'utilisateur, et soit décomposée en parties parallélisables, i.e. en ouverts couverts par un champ de repères. Ces contraintes étant satisfaites, un nombre arbitraire de cartes et de champs de repères peuvent être introduits, pourvu qu'ils soient accompagnés des fonctions de transition correspondantes.
Nous décrirons l'implémentation concrète de cette méthode dans SageMath ; elle utilise fortement la structure de dictionnaire du langage Python, ainsi que le schéma parent/élément de SageMath et le modèle de coercition associé. La méthode est indépendante du moteur de calcul formel utilisé pour l'expression symbolique des composantes tensorielles dans une carte. Nous présenterons la mise en œuvre via deux moteurs de calcul formel différents : Pynac/Maxima (le défaut dans SageMath) et SymPy. Différents champs d'application seront discutés, notamment la relativité générale et ses extensions.
Le calcul tensoriel sur les variétés différentielles comprend l'arithmétique des champs tensoriels, le produit tensoriel, les contractions, la symétrisation et l'antisymétrisation, la dérivée de Lie le long d'un champ vectoriel, le transport par une application différentiable (pullback et pushforward), mais aussi les opérations intrinsèques aux formes différentielles (produit intérieur, produit extérieur et dérivée extérieure). On ajoutera ...

53-04 ; 53Axx ; 58C25 ; 68N01 ; 68N15 ; 68U05

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Multi angle  L'importance des langages en informatique
Berry, Gérard (Auteur de la Conférence) | CIRM (Editeur )

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Explication de ce qu'est un buffer overflow, de la façon de l'exploiter, des protections possibles et des contournements...

68M10 ; 68N15 ; 68P25 ; 68Q60

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This talk is about verified numerical algorithms in Isabelle/HOL, with a focus on guaranteed enclosures for solutions of ODEs. The enclosures are represented by zonotopes, arising from the use of affine arithmetic. Enclosures for solutions of ODEs are computed by set-based variants of the well-known Runge-Kutta methods.
All of the algorithms are formally verified with respect to a formalization of ODEs in Isabelle/HOL: The correctness proofs are carried out for abstract algorithms, which are specified in terms of real numbers and sets. These abstract algorithms are automatically refined towards executable specifications based on lists, zonotopes, and software floating point numbers. Optimizations for low-dimensional, nonlinear dynamics allow for an application highlight: the computation of an accurate enclosure for the Lorenz attractor. This contributes to an important proof that originally relied on non-verified numerical computations.
This talk is about verified numerical algorithms in Isabelle/HOL, with a focus on guaranteed enclosures for solutions of ODEs. The enclosures are represented by zonotopes, arising from the use of affine arithmetic. Enclosures for solutions of ODEs are computed by set-based variants of the well-known Runge-Kutta methods.
All of the algorithms are formally verified with respect to a formalization of ODEs in Isabelle/HOL: The correctness proofs are ...

68T15 ; 34-04 ; 34A12 ; 37D45 ; 65G20 ; 65G30 ; 65G50 ; 65L70 ; 68N15 ; 68Q60 ; 68N30 ; 65Y04

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From a (partial) differential equation to an actual program is a long road. This talk will present the formal verification of all the steps of this journey. This includes the mathematical error due to the numerical scheme (method error), that is usually bounded by pen-and-paper proofs. This also includes round-off errors due to the floating-point computations.
The running example will be a C program that implements a numerical scheme for the resolution of the one-dimensional acoustic wave equation. This program is annotated to specify both method error and round-off error, and formally verified using interactive and automatic provers. Some work in progress about the finite element method will also be presented.
From a (partial) differential equation to an actual program is a long road. This talk will present the formal verification of all the steps of this journey. This includes the mathematical error due to the numerical scheme (method error), that is usually bounded by pen-and-paper proofs. This also includes round-off errors due to the floating-point computations.
The running example will be a C program that implements a numerical scheme for the ...

68N30 ; 68Q60 ; 68N15 ; 65Y04 ; 65G50

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Cet exposé présente un certain nombre d'exemples d'exercices de programmation sur les arbres qui peuvent être effectués dans les premières années d'université. Les programmes étant eux-mêmes des arbres, écrire des programmes qui opèrent sur des arbres permet d'écrire des programmes qui opèrent sur d'autres programmes.

68Wxx ; 68N15

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