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Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur) - Partie 1
Post-edited
Auteurs : Bouttier, Jérémie (Auteur de la conférence)
CIRM (Editeur )
05A17 - Partitions of integers (combinatorics)
05E10 - Combinatorial aspects of representation theory
60C05 - Combinatorial probability
60G55 - Point processes
Ressources complémentaires :
https://www.cirm-math.fr/RepOrga/1952/Slides/Bouttier_Alea.pdf
CIRM (Editeur )
Résumé :
Le but de ce cours sera de présenter quelques techniques liées aux processus de Schur, dans le cadre le plus simple de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers.
La mesure de Plancherel est une mesure sur l'ensemble des partitions d'un entier n, où une partition donnée apparaît avec une probabilité proportionnelle au carré de son nombre de tableaux de Young standard. Cette mesure apparaît très naturellement en lien avec le fameux problème de Ulam-Hammersley, qui consiste à étudier la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme de {1,...,n}. Il est en fait fructueux de travailler avec une version «poissonisée» du problème, où la taille n est tirée selon une loi de Poisson, dont on fera tendre le paramètre vers l'infini afin d'étudier les asymptotiques.
Dans la première séance, nous verrons que la mesure de Plancherel poissonisée est en fait un processus déterminantal, dont le noyau de corrélation fait intervenir les fonctions de Bessel. Nous utiliserons pour cela le formalisme de l'espace de Fock fermionique. (Toutes les notions nécessaires seront introduites au fur et à mesure, de la manière la plus élémentaire possible.)
Dans la seconde séance, nous étudierons les différentes asymptotiques du noyau de corrélation, par une application élégante de la méthode du col due à Okounkov et Reshetikhin. Nous verrons en particulier apparaître un phénomène de forme-limite, le noyau sinus discret dans le cas des limites «bulk» et le noyau d'Airy dans la limite «edge». In fine, nous aboutirons à une preuve du théorème de Baik-Deift-Johansson (1998) énonçant que les fluctuations de la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme ont asymptotiquement la même distribution que la plus grande valeur propre d'une matrice hermitienne aléatoire.
Mots-Clés : Young diagram; Plancherel measure; permutations; Baik-Deift-Johannson theorem; Ulam-Hammersley problem
Codes MSC : La mesure de Plancherel est une mesure sur l'ensemble des partitions d'un entier n, où une partition donnée apparaît avec une probabilité proportionnelle au carré de son nombre de tableaux de Young standard. Cette mesure apparaît très naturellement en lien avec le fameux problème de Ulam-Hammersley, qui consiste à étudier la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme de {1,...,n}. Il est en fait fructueux de travailler avec une version «poissonisée» du problème, où la taille n est tirée selon une loi de Poisson, dont on fera tendre le paramètre vers l'infini afin d'étudier les asymptotiques.
Dans la première séance, nous verrons que la mesure de Plancherel poissonisée est en fait un processus déterminantal, dont le noyau de corrélation fait intervenir les fonctions de Bessel. Nous utiliserons pour cela le formalisme de l'espace de Fock fermionique. (Toutes les notions nécessaires seront introduites au fur et à mesure, de la manière la plus élémentaire possible.)
Dans la seconde séance, nous étudierons les différentes asymptotiques du noyau de corrélation, par une application élégante de la méthode du col due à Okounkov et Reshetikhin. Nous verrons en particulier apparaître un phénomène de forme-limite, le noyau sinus discret dans le cas des limites «bulk» et le noyau d'Airy dans la limite «edge». In fine, nous aboutirons à une preuve du théorème de Baik-Deift-Johansson (1998) énonçant que les fluctuations de la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme ont asymptotiquement la même distribution que la plus grande valeur propre d'une matrice hermitienne aléatoire.
Mots-Clés : Young diagram; Plancherel measure; permutations; Baik-Deift-Johannson theorem; Ulam-Hammersley problem
05A17 - Partitions of integers (combinatorics)
05E10 - Combinatorial aspects of representation theory
60C05 - Combinatorial probability
60G55 - Point processes
Ressources complémentaires :
https://www.cirm-math.fr/RepOrga/1952/Slides/Bouttier_Alea.pdf
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Informations sur la Vidéo
Réalisateur : Hennenfent, GuillaumeLangue : Français Date de Publication : 11/04/2019 Date de Captation : 20/03/2019 Collection : Ecoles de recherche Sous Collection : Research School Catégorie arXiv : Probability ; Combinatorics ; Mathematical Physics Domaine(s) : Combinatoires ; Probabilités & Statistiques Format : MP4 (.mp4) - HD Durée : 01:18:41 Audience : Chercheurs ; Etudiants Science Cycle 2 Download : https://videos.cirm-math.fr/2019-03-20_Bouttier_Part1.mp4 
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Informations sur la Rencontre
Nom de la Rencontre : ALEA Days / Journées ALEAOrganisateurs de la Rencontre : Chapuy, Guillaume ; Goldschmidt, Christina ; Duchi, Enrica Dates : 18/03/2019 - 22/03/2019 Année de la rencontre : 2019 URL de la Rencontre : https://conferences.cirm-math.fr/1952.html
Données de citation
DOI : 10.24350/CIRM.V.19507603Citer cette vidéo: Bouttier, Jérémie (2019). Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur) - Partie 1. CIRM. Audiovisual resource. doi:10.24350/CIRM.V.19507603 URI : http://dx.doi.org/10.24350/CIRM.V.19507603 |
Voir Aussi
- [Multi angle] Identités de $q$-séries et de partitions / Auteur de la conférence Dousse, Jehanne.
- [Multi angle] Méthode des invariants de Tutte et mouvement brownien réfléchi dans des cônes / Auteur de la conférence Franceschi, Sandro.
- [Multi angle] Invariants de Tutte et convergence des cartes avec modèle d'Ising / Auteur de la conférence Albenque, Marie.
- [Multi angle] Autour de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers (une introduction aux processus de Schur) - Partie 2 / Auteur de la conférence Bouttier, Jérémie.
Bibliographie
- Romik, D. (2015). The surprising mathematics of longest increasing subsequences. Cambridge: Cambridge University Press - https://doi.org/10.1017/CBO9781139872003
