Dans cet exposé, nous introduirons certaines chaînes de Markov simples, dites “montantes-descendantes”, sur les permutations et les graphes. Une étape de la chaîne consiste à dupliquer un élément aléatoire de la permutation ou un sommet aléatoire du graphe (pas montant), puis à supprimer un autre élément/sommet aléatoire (pas descendant). Nous prouvons que ces chaînes convergent dans la limite des grandes tailles et après renormalisation du temps vers une diffusion de Feller sur l'espace des permutons et des graphons, respectivement. Nous obtenons également une formule explicite pour la distance de séparation entre la distribution des chaînes après n pas, excluant l'apparition d'un phénomène de “cut-off”. Notre approche fonctionne dans un cadre plus général : il est basé sur des relations de commutation entre les opérateurs des pas montants et descendants, et s'inspire des travaux de Fulman, Olshanski et Borodin–Olshanski sur l'espace des partitions et le simplex de Thoma. Je ne supposerai aucune connaissance préalable des permutons, graphons, diffusions de Feller, distances de séparation, seuils, ... Travail joint (et encore en cours) avec Kelvin Rivera-Lopez, Gonzaga University.[-]

L'énumération des chemins du quadrant formés de petits pas (c'est-à-dire de pas aux 8 plus proches voisins) est maintenant bien comprise. En particulier, leur série génératrice est différentiellement finie (solution d'une ED linéaire à coefficients polynomiaux) si et seulement si un certain groupe de transformations rationnelles, associé à l'ensemble des pas autorisés (encore appelé modèle), est fini. Il n'est pas du tout évident d'étendre à des marches à pas plus grands les méthodes qui ont permis cette classification. Guy Fayolle et Kilian Raschel ont décrit les difficultés qu'il faut attendre si on essaie de généraliser l'approche par analyse complexe (laquelle est très puissante dans le cas de petits pas). Dans cet exposé, j'expliquerai comment étendre à des pas quelconques l'approche algébrique la plus simple, qui repose seulement sur des séries formelles. Elle ne s'applique qu'aux modèles à groupe fini, et encore, pas à tous : pour les chemins à petits pas, elle résout 19 des 23 modèles concernés, laissant de côté les 4 modèles algébriques. Mais elle est tout de même assez robuste : on verra par exemple que, pour des modèles à pas dans {-2,-1,0,1}$^2$ elle résout 231 des 240 modèles à groupe fini, mettant ainsi en lumière 9 modèles particulièrement intéressants.
Travail en commun avec Alin Bostan et Steve Melczer.[-]

Les Acides RiboNucléiques (ARN) sont des biopolymères linéaires omniprésents dans notre organisme, pouvant être codés comme des séquences sur un alphabet A,C,G,U. Ces molécules se replient sur elles-mêmes, établissant des liaisons hydrogènes d'où découlent l'appariement de certaines des positions, selon des règles de compatibilité des lettres n'autorisant que les paires dans l'ensemble A,U,C,G,G,U. De ce mécanisme d'appariements résulte l'adoption d'une ou plusieurs conformations, appelées structures secondaires, au passage bijectif avec les mots de Motzkin sans-pic. De nombreuses applications, en nanotechnologie, médecine, ou biostatistique, nécessitent de compter, ou encore engendrer aléatoirement, des séquences d'ARN simultanément compatibles avec un ensemble donné de structures secondaires. Un algorithme exponentiel, basé sur une décomposition (ear decomposition) du graphe de dépendance induit par l'union des paires, a ainsi été proposé par Höner zu Siederdissen et al [A]. Cet algorithme utilise la méthode récursive/programmation dynamique pour précalculer les nombres d'affectations compatibles avant/après chacun des choix locaux. Une phase de génération utilise ensuite ces nombres pour garantir l'uniformité de la génération. Cependant, cet algorithme ne permettait pas la prise en compte de critères énergétiques plus complexes, nécessitant l'utilisation d'un formalisme plus expressif que les graphes de dépendance (hypergraphes). De plus, la complexité de l'algorithme, théoriquement exponentielle sur un paramètre non-borné et parfois élevée en pratique, soulevait la question de la complexité du problème de comptage.
Dans un travail récent avec Hammer, Wang et Will [B], nous établissons la #P complétude, et la complexité d'approximation, du problème de comptage des séquences compatibles. Notre preuve repose sur une bijection simple entre les séquences compatibles et les stables du graphes de dépendance. Nous proposons une approche alternative, basée sur la décomposition arborescente, pour contrôler de façon probabiliste [C] l'énergie moyenne des séquences pour les différentes structures, ou la composition en les différentes lettres. Ces résultats fournissent un cadre flexible et expressif pour le design d'ARN, et soulèvent des questions sur l'utilisation de stratégies alternatives (génération de Boltzmann, simulation parfaite) pour la génération aléatoire, ainsi sur le concept d'analyse en moyenne dans un contexte où la donnée en entrée est plus complexe que la taille de l'objet engendré.[-]

Le but de ce cours sera de présenter quelques techniques liées aux processus de Schur, dans le cadre le plus simple de la mesure de Plancherel sur les partitions d'entiers.
La mesure de Plancherel est une mesure sur l'ensemble des partitions d'un entier n, où une partition donnée apparaît avec une probabilité proportionnelle au carré de son nombre de tableaux de Young standard. Cette mesure apparaît très naturellement en lien avec le fameux problème de Ulam-Hammersley, qui consiste à étudier la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme de {1,...,n}. Il est en fait fructueux de travailler avec une version «poissonisée» du problème, où la taille n est tirée selon une loi de Poisson, dont on fera tendre le paramètre vers l'infini afin d'étudier les asymptotiques.
Dans la première séance, nous verrons que la mesure de Plancherel poissonisée est en fait un processus déterminantal, dont le noyau de corrélation fait intervenir les fonctions de Bessel. Nous utiliserons pour cela le formalisme de l'espace de Fock fermionique. (Toutes les notions nécessaires seront introduites au fur et à mesure, de la manière la plus élémentaire possible.)
Dans la seconde séance, nous étudierons les différentes asymptotiques du noyau de corrélation, par une application élégante de la méthode du col due à Okounkov et Reshetikhin. Nous verrons en particulier apparaître un phénomène de forme-limite, le noyau sinus discret dans le cas des limites «bulk» et le noyau d'Airy dans la limite «edge». In fine, nous aboutirons à une preuve du théorème de Baik-Deift-Johansson (1998) énonçant que les fluctuations de la longueur d'une plus longue sous-suite croissante d'une permutation uniforme ont asymptotiquement la même distribution que la plus grande valeur propre d'une matrice hermitienne aléatoire.[-]

The main purpose of this work is to provide a framework for proving that, given a family of random maps known to converge in the Gromov--Hausdorff sense, then some (suitable) conditional families of random maps converge to the same limit. As a proof of concept, we show that quadrangulations with a simple boundary converge to the Brownian disk. More precisely, we fix a sequence $(p_n)$ of even positive integers with $p_n\sim2\alpha \sqrt{2n}$ for some $\alpha\in(0,\infty)$. Then, for the Gromov--Hausdorff topology, a quadrangulation with a simple boundary uniformly sampled among those with $n$ inner faces and boundary length $p_n$ weakly converges, in the usual scaling $n^{-1/4}$, toward the Brownian disk of perimeter $3\alpha$.[-]

Bijections between planar maps and tree-like structures have been proven to play a crucial role in understanding the geometry of large random planar maps. Perhaps the most popular (and useful) bijections fit into two categories: bijections between maps and labeled trees and bijections between maps and blossoming trees. They were popularized in the late nineties in the important contribution of Schaeffer and they have been widely developed since then. It is natural to ask whether these bijections still hold when the underlying surface is no longer the sphere but any two-dimensional compact manifold? In this case trees are replaced by maps on a given surface with only one face and while the construction of Schaefer of the labeled-type bijection works independently on genus (but crucially depending on the assumption of orientability) his construction of the blossoming-type bijection was known only in the planar case. We will discuss a (recent?) development of these bijections that extends them to all compact two-dimensional manifolds. I will quickly review my previous joint work with Chapuy and its extension due to Bettinelli which treats the labeled-type bijection and will focus on a more recent work joint with Lepoutre which extends the blossoming-type bijection to non-oriented surfaces.[-]

The two-periodic Aztec diamond is a dimer or random tiling model with three phases, solid, liquid and gas. The dimers form a determinantal point process with a somewhat complicated but explicit correlation kernel. I will discuss in some detail how the Airy point process can be found at the liquid-gas boundary by looking at suitable averages of height function differences. The argument is a rather complicated analysis using the cumulant approach and subtle cancellations. Joint work with Vincent Beffara and Sunil Chhita.[-]