In joint work with Konstanze Rietsch (arXiv:1712.00447), we use the $\mathcal{X}$-cluster structure on the Grassmannian and the combinatorics of plabic graphs to associate a Newton-Okounkov body to each $\mathcal{X}$-cluster. This gives, for each $\mathcal{X}$-cluster, a toric degeneration of the Grassmannian. We also describe the Newton-Okounkov bodies quite explicitly: we show that their facets can be read off from $\mathcal{A}$-cluster expansions of the superpotential. And we give a combinatorial formula for the lattice points of the Newton-Okounkov bodies, which has a surprising interpretation in terms of quantum Schubert calculus.[-]

Wang et Zhu ont caractérisé l'existence de métriques de Kähler-Einstein sur les variétés toriques Fano en termes du barycentre du polytope associé. L'objectif de cet exposé est de présenter un résultat similaire pour les compactifications $G \times G$-équivariantes Fano d'un groupe réductif $G$. Je présenterai le polytope moment associé à une telle variété et comment le barycentre de ce polytope par rapport à la mesure de Duistermaat-Heckman est lié à l'existence de métriques de Kähler-Einstein. La condition nécessaire et suffisante d'existence de métriques de Kähler-Einstein ainsi obtenue est vérifiable en pratique et donne de nouveaux exemples de variétés de Kähler-Einstein Fano (par exemple la compactification magnifique du groupe semisimple adjoint PSL$(3, \mathbb{C})$).[-]